Question

6．已知雙曲線(xiàn)M的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)相同．如果直線(xiàn)y=-$\sqrt{2}$x是M的一條漸近線(xiàn)，那么M的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{18}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a，b＞0）$，由直線(xiàn)y=-$\sqrt{2}$x是M的一條漸近線(xiàn)，可得$\frac{a}$=$\sqrt{2}$．由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)為（±3，0），可得c=3，再利用c²=a²+b²，解出即可．

解答 解：由題意可設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a，b＞0）$，
∵直線(xiàn)y=-$\sqrt{2}$x是M的一條漸近線(xiàn)，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$．
橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點(diǎn)為（±3，0），
∴c=3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{\frac{a}=\sqrt{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=6．
∴M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．