Question

8．求下列函數(shù)的解析式：
（1）已知二次函數(shù)f（2x+1）=4x²-6x-15，求f（x）；
（2）已知滿(mǎn)足f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，求f（x）；
（3）已知f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$，求f（x）

Answer 1

分析 （1）利用換元法令2x+1=t，從而得x=$\frac{t-1}{2}$；從而得f（t）=4（$\frac{t-1}{2}$）²-6$\frac{t-1}{2}$-15=t²-5t-11，從而解得．
（2）由f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x得f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=3$\frac{1}{x}$，聯(lián)立方程解得．
（3）由f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$得f（-x）+2f（x）=-$\frac{1}{x}$；聯(lián)立方程解得．

解答 解：（1）令2x+1=t，則x=$\frac{t-1}{2}$；
則f（t）=4（$\frac{t-1}{2}$）²-6$\frac{t-1}{2}$-15
=t²-5t-11，
故f（x）=x²-5x-11；
（2）∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=3x，
∴f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=3$\frac{1}{x}$，
聯(lián)立解得，f（x）=$\frac{2}{x}$-x；
（3）∵f（x）+2f（-x）=$\frac{1}{x}$，
∴f（-x）+2f（x）=-$\frac{1}{x}$；
聯(lián)立解得，f（x）=-$\frac{1}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法，應(yīng)用了換元法與解方程組的方法，屬于基礎(chǔ)題．