Question

9．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，點(diǎn)E為棱SD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AE和SB所成角的余弦值；
（2）求直線AE和平面SBC所成角的正弦值；
（3）求面SAD和面SBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用數(shù)量積計(jì)算cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{SD}$＞即可；
（2）所求值即為平面SBC的一個(gè)法向量與$\overrightarrow{AE}$的夾角的余弦值，計(jì)算即可；
（3）所求值即為平面SCD的一個(gè)法向量與平面SBC的一個(gè)法向量的夾角的余弦值，計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，不妨設(shè)CD=1，
則SD=AD=AB=2，則A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），S（0，0，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{SD}$=（-2，-2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{SD}$＞=$\frac{4+2}{\sqrt{5}•2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即異面直線AE和SB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（2）由（1）可得，$\overrightarrow{CB}$=（2，1，0），$\overrightarrow{CS}$=（0，-1，2），
不妨設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面SBC的一個(gè)法向量，
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CS}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，
不妨令y=2，可得$\overrightarrow{n}$=（-1，2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{2+1}{\sqrt{5}\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴直線AE和平面SBC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$；
（3）由題意可知，$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）為平面SCD的一個(gè)法向量，
而cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{4}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以面SAD和面SBC所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間角的求法，著重考查分析推理能力與表達(dá)、運(yùn)算能力，屬于中檔題．