Question

18．某班級舉行投籃比賽，前兩次是罰球區(qū)投籃，投中一次得2分，不中得0分．名次投籃互不影響，第三次是在三分線外，投中得3分，不中得0分，若前兩次都沒投中，則第三次不能再投，已知甲罰球區(qū)投籃一次命中率為$\frac{2}{3}$，三分線外投籃受心理影響，前兩次投中1，2次對應的第三次投中的概率依次是$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$
（1）求甲第三次投籃但沒投中的概率；
（2）求甲得分的分布列和均值（數學期望）

Answer 1

分析 （1）設“甲第三次投籃但沒投中”為事件A，可知：甲在前兩次投籃中至少投中一次．利用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式即可得出；
（2）設甲得分為ξ，由題意可得ξ=0，2，4，5，7．利用相互獨立事件的概率計算公式可得概率及其分布列、及其數學期望．

解答 解：（1）設“甲第三次投籃但沒投中”為事件A，可知：甲在前兩次投籃中至少投中一次．
∴P（A）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{5}）$+$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{20}{45}$．
（2）設甲得分為ξ，由題意可得ξ=0，2，4，5，7．
P（ξ）=$（1-\frac{2}{3}）×（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{9}$．P（ξ=2）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{4}{15}$，P（ξ=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{8}{45}$．P（ξ=5）=${∁}_{2}^{1}\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{45}$，
P（ξ=7）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{3}{5}$=$\frac{4}{15}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4	5	7
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{4}{15}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{9}$+2×$\frac{4}{15}$+4×$\frac{8}{45}$+$5×\frac{8}{45}$+7×$\frac{4}{15}$
=4．

點評 本題考查了用互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式、古典概率計算公式、組合數的計算公式、隨機變量的分布列及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．