1．已知O是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線的交點，平面α經(jīng)過點O，正方體的8個頂點到α的距離組成集合A，則A中的元素個數(shù)最多有（　　）
A．3B．4C．5D．6

分析 根據(jù)題意，由正方體的結(jié)構特點，可得O是線段A1C的中點，過點O作任一平面α，設A1C與α所成的角為θ，分析可得點A1與C到平面α的距離相等，同理可得B與D1，A與C1，D與B1到平面α的距離相等，則可得集合A中的元素個數(shù)最多為4個，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖，點O為正方體對角線的交點，則O是線段A1C的中點，
過點O作任一平面α，設A1C與α所成的角為θ，
分析可得點A1與C到平面α的距離相等，均為$\frac{{A}_{1}C•sinθ}{2}$，
同理B與D1到平面α的距離相等，
A與C1到平面α的距離相等，
D與B1到平面α的距離相等，
則集合A中的元素個數(shù)最多為4個；
故選：B．

點評 本題考查正方體的幾何結(jié)構，注意正方體中心的性質(zhì)，即體對角線的交點，從而分析得到體對角線的兩個端點到平面α的距離相等．

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3．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1=B1B=BA=BC，∠B1BC=90°，D為AC的中點，AB⊥B1D．
（Ⅰ）求證：平面ABC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求直線B1D與平面ACC1A1所成角的正弦值．

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12．在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上，函數(shù)f（x）=x2+px+q與g（x）=2x+$\frac{1}{x^2}$在同一點取得相同的最小值，那么f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是（　�。�
A．$\frac{13}{4}$B．$\frac{5}{4}$C．8D．4

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9．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，點E為棱SD的中點．
（1）求異面直線AE和SB所成角的余弦值；
（2）求直線AE和平面SBC所成角的正弦值；
（3）求面SAD和面SBC所成二面角的余弦值．

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16．已知函數(shù)f（x）=x，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極值；
（2）若?a∈（0，+∞），使得函數(shù)y=af（x）-g（x）在（0，e]上的最小值是3（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），試求a的值．

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6．根據(jù)新修訂的“環(huán)境空氣質(zhì)量標準”指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0-50，各類人群可正�；顒樱呈协h(huán)保局在2014年對該市進行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)．從中隨機抽取50個作為樣本進行分析報告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[40，50），由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖，
（1）求a的值
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值
（3）用著50個樣本數(shù)據(jù)來估計全年的總體數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過20，就認定空氣質(zhì)量為“最優(yōu)等級”，從這一年的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取2天的數(shù)值，其中達到“最優(yōu)等級‘的天數(shù)為ζ，求ζ的分布列和數(shù)學期望．

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13．一學校體育老師，5個擅長籃球，2個擅長足球，隨機選2人，設x為即擅長籃球又擅長足球的人數(shù)，已知P1 （x＞0）=$\frac{7}{10}$，
①求有多少體育老師．
②x分布列，數(shù)學期望與方差．

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10．函數(shù)y=x3-3x的極小值是-2．

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11．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與直線y=kx（k＞0）相交于A，B兩點（從左到右），過點B作x軸的垂線，垂足為C，直線AC交橢圓于另一點D．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點B的坐標為（$\sqrt{2}$，1），求橢圓的方程；
（2）若以OD為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，求橢圓的離心率．

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