Question

20．如圖，正四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的$\sqrt{2}$倍，點(diǎn)P在側(cè)棱SD上，且SP=3PD．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC．
若存在，求$\frac{SE}{EC}$的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正四棱錐的定義，連接BD交AC于O，連接SO，這樣即可分別以O(shè)B，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)OB=1，根據(jù)已知條件即可求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=0$，這樣即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）首先說明$\overrightarrow{OS}$為平面DAC的法向量，設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$求出法向量$\overrightarrow{n}$，設(shè)二面角P-AC-D的大小為θ，從而根據(jù)cosθ=$cos＜\overrightarrow{OS}，\overrightarrow{n}＞$求出θ；
（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱SC上存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC，并可設(shè)E（$0，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}$），這時候$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow{n}$，從而根據(jù)$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0$即可求出z₀，若$0≤{z}_{0}≤\sqrt{3}$便判斷出存在滿足條件的E點(diǎn)，否則不存在；存在點(diǎn)E時，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求出$\frac{SE}{EC}$．

解答 解：
（Ⅰ）證明：連接BD 交AC 于O，連接SO；
∵四棱錐S-ABCD是正四棱錐，且底面是正方形；
∴OB，OC，OS三直線兩兩垂直，所以分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系；

設(shè)OB=1，由已知可得：A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，0，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），P（$-\frac{3}{4}，0，\frac{\sqrt{3}}{4}$）；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SD}=（0，2，0）•（-1，0，-\sqrt{3}）=0$；
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{SD}$；
∴AC⊥SD；
（Ⅱ）SO⊥底面ABCD；
∴$\overrightarrow{OS}=（0，0，\sqrt{3}）$為平面DAC的一條法向量；
設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{3}{4}x+y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\sqrt{3}x}\\{y=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{3}）$；
設(shè)二面角P-AC-D的大小為θ，則：
cosθ=$cos＜\overrightarrow{OS}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\sqrt{3}•\sqrt{3}}{2•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{6}$；
即二面角P-AC-D的大小為$\frac{π}{6}$；
（Ⅲ）假設(shè)在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC，則：
$\overrightarrow{BE}$和平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$垂直；
E在棱SC上，∴設(shè)E（$0，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}$）；
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=（-1，1-\frac{\sqrt{3}}{3}{z}_{0}，{z}_{0}）•（1，0，\sqrt{3}）=-1+\sqrt{3}{z}_{0}=0$；
∴${z}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴存在點(diǎn)E（$0，\frac{2}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）使BE∥平面PAC；
此時，$\frac{SE}{EC}=\frac{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{12}{9}}}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{3}{9}}}=2$．

點(diǎn)評 考查正四棱錐的定義，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明異面直線互相垂直，求二面角等問題的方法，以及兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念，平面法向量夾角和平面二面角大小的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，知道直線若和一平面平行，則這條直線的方向向量便和平面的法向量垂直．