Question

4．若函數(shù)f（x）=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}}$的最小值為$\frac{1}{2}$，則a=-1．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)y=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$在R上是減函數(shù)知x≥2，從而化為y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值為2，從而可得y=ax²+2x+3的最小值為4，從而求a．

解答 解：∵y=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$在R上是減函數(shù)，
又∵$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{x}$≤$\frac{1}{2}$；
∴x≥2，
故y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值為2，
故y=ax²+2x+3的最小值為4，
而y=ax²+2x+3的圖象的對稱軸為x=-$\frac{1}{a}$，
故y=ax²+2x+3的最小值為3-$\frac{1}{a}$=4，
故a=-1；
故答案為：-1．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．