4.若函數(shù)f(x)=$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}}$的最小值為$\frac{1}{2}$,則a=-1.

分析 由指數(shù)函數(shù)y=$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{x}$在R上是減函數(shù)知x≥2,從而化為y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值為2,從而可得y=ax2+2x+3的最小值為4,從而求a.

解答 解:∵y=$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{x}$在R上是減函數(shù),
又∵$(\frac{\sqrt{2}}{2})^{x}$≤$\frac{1}{2}$;
∴x≥2,
故y=$\sqrt{a{x}^{2}+2x+3}$的最小值為2,
故y=ax2+2x+3的最小值為4,
而y=ax2+2x+3的圖象的對(duì)稱軸為x=-$\frac{1}{a}$,
故y=ax2+2x+3的最小值為3-$\frac{1}{a}$=4,
故a=-1;
故答案為:-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù),冪函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

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