已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有（其中為自然對數(shù)的底，）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設，，求證：當時，；
（3）試問：是否存在實數(shù)，使得當時，的最小值是3？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．
（1）
（2）構造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。
（3）當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3

試題分析：解：（1）當時，，
則，
又是奇函數(shù)，
所以，
因此，；                  4分
（2）證明：令，
當時，注意到，所以 5分
①   當時，注意到，有
；      6分
② 當時，
，   7分
故函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，
所以當時，有，                         8分
又因為是偶函數(shù)，故當時，同樣有，即，
綜上所述，當時，有；                         9分
（2）證法二：當時，，
求導得，令得，                         5分
于是可得當時，；時，，
所以在處取得最大值，所以．     6分
又記，當時，有，          7分
求導得，當時，，
所以在上單調遞增，于是，
所以，在在上總有．               8分
注意到和的偶函數(shù)性質，
所以當時，有（）；     9分
（3）當時，，
求導得，令得，          10分
① 當時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，不滿足要求；               11分
② 當，即時，，
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，此時函數(shù)在區(qū)間的最小值為，
令，得，也不滿足要求；                    12分
③ 當時，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當時，，
令，得，滿足要求．                        13分
綜上可得，當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．   14分
點評：解決的關鍵是根據(jù)導數(shù)的符號于函數(shù)單調性的關系來判定單調性，進而得到最值，屬于基礎題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在一個周期內的部分對應值如下表：














（I）求的解析式；
（II）設函數(shù)，，求的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝90°，AC＝2)沿x軸滾動，設頂點A(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，當[0,]時y＝f(x)= _____________

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列函數(shù)中，在其定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

二次函數(shù)的值域為[0，+)，則的最小
值為   ______________ ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，設
（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調函數(shù)；
（2）求函數(shù)在上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設函數(shù)，若關于的方程在上恰好有兩個相異實根，則實數(shù)的取值范圍為______________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題共12分）
已知函數(shù)的圖象過點，且在內單調遞減，在上單調遞增。
（1）求的解析式；
（2）若對于任意的，不等式恒成立，試問這樣的是否存在.若存在，請求出的范圍，若不存在，說明理由；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知函數(shù),
(1)若，且的取值范圍
（2）當時，恒成立，且的取值范圍

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