Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為,離心率為. 拋物線截軸所得的線段長(zhǎng)為的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),直線分別與相交于兩點(diǎn)

證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；

記和的面積分別是,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析，②.

【解析】試題分析：（1）中，令得，， 又，則，從而,進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去，根據(jù)韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式可證明 恒等于零，從而可得以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；設(shè)直線:，顯然，由，利用弦長(zhǎng)公式可得，同理，從而可得，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，從而求得，從而可得兩面積比，利用基本不等式求解即可.

試題解析：（1）已知.中，令得，，

又，則，從而,

橢圓的方程為：,

（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)方程為.由得

設(shè),

由已知，所以.

,

故以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) .

設(shè)直線:，顯然，由，得，或，

，則，

由知/span>，直線:

那么 ,

由得，解得或,

，則，

由知，直線:,

那么 ,

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即最小值為.