Question

4．在三棱錐P-ABCD中，底面ABC為直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．
（1）證明：BC⊥PB；
（2）若D為AC的中點(diǎn)，且PA=2AB=4，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BC⊥AB，BC⊥PA，由此能證明BC⊥PB．
（2）以A為原點(diǎn)，過(guò)A作BC的平行線為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)D到平面PBC的距離．

解答 證明：（1）∵底面ABC為直角三角形，AB=BC，
∴BC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥PB．
解：（2）以A為原點(diǎn)，過(guò)A作BC的平行線為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，4），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，1，0），
$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，4），$\overrightarrow{BC}$=（2，0，0），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
∴點(diǎn)D到平面PBC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．