Question

17．解關(guān)于x的不等式：$\frac{2{x}^{2}-（a+1）x+1}{x（x-1）}$＞1（a＞0）

Answer 1

分析 原不等式即 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0，分類討論a的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得它的解集．

解答 解：不等式：$\frac{2{x}^{2}-（a+1）x+1}{x（x-1）}$＞1（a＞0），即 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0．
①當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x²-ax+1＞0恒成立，原不等式等價(jià)于x（x-1）＞0，求得 x＜0 或x＞1．
②當(dāng)a=2時(shí)，x²-ax+1=x²-2x+1=（x-1）²，原不等式等價(jià)于x（x-1）＞0，求得 x＜0 或x＞1．
③當(dāng)a＞2時(shí)，方程x²-ax+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別為
x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$∈（0，1），x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＞1，
用穿根法求得原不等式 $\frac{{x}^{2}-ax+1}{x（x-1）}$＞0的解集為
（-∞，0）∪（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，1）∪（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．