Question

5．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（$\frac{5π}{12}$，3）和（$\frac{11π}{12}$，-3）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最近兩個(gè)最高和最低點(diǎn)可分別求得函數(shù)的最小正周期和振幅，求得ω和A，進(jìn)而把其中一個(gè)點(diǎn)代入求得φ．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（3）根據(jù)x的范圍確定2x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象求得函數(shù)的最大和最小值．

解答 解：（1）根據(jù)題意知函數(shù)的最小正周期T=2×（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，
∴ω=2．
A=$\frac{3+3}{2}$=3，
y=3sin（2x+φ），把點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，3）代入函數(shù)解析式得，
3=3sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ），求得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)的解析式為y=3sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{6}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)有最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)有最小值-3，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-3，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和計(jì)算的能力．