Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx-lnx，a，b∈R．
（1）若a＜0且b=2-a，試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若b=-8，總存在x∈（0，$\frac{1}{e}$]使得f（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則，可得f′（x），通過對a分類討論即可得出其單調(diào)性；
（2）通過分離參數(shù)法得到a＜$\frac{8x+lnx}{{x}^{2}}$對?x∈（0，$\frac{1}{e}$]恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{8x+lnx}{{x}^{2}}$，通過討論g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=2ax+（2-a）-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+（2-a）x-1}{x}$=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{x}$（x∈（0，+∞）），
令f′（x）=0，解得 x=-$\frac{1}{a}$或x=$\frac{1}{2}$，
①當(dāng)-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，即a＜-2時，
令f′（x）＞0，解得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
故f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$），減區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）；
②當(dāng)-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=-2時，則f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，即a＞-2時，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{a}$，
故f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（-$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）若b=-8，則f（x）=ax²-8x-lnx，（x＞0），
若在區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$]上存在一點x，使得f（x）＜0成立，
令f（x）＜0⇒a＜$\frac{8x+lnx}{{x}^{2}}$對?x∈（0，$\frac{1}{e}$]恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{8x+lnx}{{x}^{2}}$，x∈（0，$\frac{1}{e}$]，
g′（x）=$\frac{1-2lnx-8x}{{x}^{3}}$，
令y=1-2lnx-8x，y′=-$\frac{2}{x}$-8＜0，
∴y在（0，$\frac{1}{e}$]單調(diào)遞減，
∴y_min=${y|}_{x=\frac{1}{e}}$=$\frac{3e-8}{e}$＞0，
∴g′（x）＞0，
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$]單調(diào)遞增，
故g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=8e-e²，
由于存在x∈（0，$\frac{1}{e}$]使得f（x）＜0成立，
∴a∈（-∞，8e-e²）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題的研究，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道難題．