Question

6．給出下列命題：
①函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù)；
②函數(shù)y=cos（ωx+φ）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$；
③函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{2}$π）是偶函數(shù)；
④函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象．
其中正確的命題是③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行計(jì)算即可，
③利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷即可，
④利用三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)．

解答 解：①函數(shù)y=sinx在第一象限不具備單調(diào)性，比如α=$\frac{π}{4}$和β=$\frac{π}{4}$+2π是第一象限角，滿(mǎn)足α＜β，但sinα=sinβ，故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=cos（ωx+φ）的最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}$，故②錯(cuò)誤；
③函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{2}$π）=sin（$\frac{2}{3}$x+4π-$\frac{π}{2}$）=sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{2}$）=-cos$\frac{2}{3}$x是偶函數(shù)，故③正確；
④函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=cos2（x+$\frac{π}{4}$）=cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x的圖象，故④錯(cuò)誤．
故正確的是③，
故答案為：③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算和化簡(jiǎn)能力．