Question

設(shè)拋物線C：x²＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn).

       (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程；

       (2)若A，B，F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值．

Answer 1

解　(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝p.

由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝ p.

因?yàn)椤?i>ABD的面積為4 ，所以|BD|·d＝4 ，

即·2p· p＝4 ，

解得p＝－2(舍去)或p＝2.

所以F(0,1)，圓F的方程為x²＋(y－1)²＝8.

(2)因?yàn)?i>A，B，F三點(diǎn)在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°.

由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|.

所以∠ABD＝30°，m的斜率為或－.

當(dāng)m的斜率為時(shí)，由已知可設(shè)n：y＝x＋b，代入x²＝2py得x²－px－2pb＝0.

由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故Δ＝p²＋8pb＝0，

解得b＝－.

因?yàn)?i>m的縱截距b₁＝，＝3，

所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值也為3.

當(dāng)m的斜率為－時(shí)，由圖形對(duì)稱性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.

綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為3.