Question

20．2015年7月9日21時(shí)15分，臺(tái)風(fēng)“蓮花”在我國(guó)廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬(wàn)人受災(zāi)，5.6萬(wàn)人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟(jì)損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺(tái)風(fēng)的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺(tái)風(fēng)造成的經(jīng)濟(jì)損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，并作出頻率分布直方圖（如圖）：
（Ⅰ）試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅱ）小明向班級(jí)同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款，現(xiàn)從損失超過(guò)4000元的居民中隨機(jī)抽出2戶進(jìn)行捐款援助，設(shè)抽出損失超過(guò)8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）臺(tái)風(fēng)后區(qū)委會(huì)號(hào)召該小區(qū)居民為臺(tái)風(fēng)重災(zāi)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表，在表格空白處填寫正確數(shù)字，并說(shuō)明是否有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否到4000元有關(guān)？

	經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元	合計(jì)
捐款超過(guò)500元	30
捐款不超過(guò)500元		6
合計(jì)

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：臨界值表參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖能估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，得損失超過(guò)4000元的居民有15戶，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅲ）求出K²，從而得到有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否4000元有關(guān)．

解答 解：（Ⅰ）記每戶居民的平均損失為$\overline{x}$元，
則由頻率分布直方圖估計(jì)小區(qū)平均每戶居民的平均損失：
$\overline{x}$=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，得：
損失超過(guò)4000元的居民有：
（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15戶，
∴ξ的可能取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{22}{35}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{12}{35}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{1}{35}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{22}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

Eξ=$0×\frac{22}{35}+1×\frac{12}{35}+2×\frac{1}{35}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅲ）如表：

	經(jīng)濟(jì)損失不超過(guò)4000元	經(jīng)濟(jì)損失超過(guò)4000元	合計(jì)
捐款超過(guò)500元	30	9	39
捐款不超過(guò)500元	5	6	11
合計(jì)	35	15	50

∴K²=$\frac{50（30×6-9×5）}{39×11×35×15}$=$\frac{4050}{1001}$=4.046＞3.841，
∴有95%以上的把握認(rèn)為捐款數(shù)額是否多于或少500元和自身經(jīng)濟(jì)損失是否4000元有關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．