Question

設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意都有成立， (其中、、是常數(shù)) ．

（1）當(dāng)，，時，求；

（2）當(dāng)，，時，

①若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②設(shè)數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“數(shù)列”.

如果，試問：是否存在數(shù)列為“數(shù)列”，使得對任意，都有

，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所

有取值構(gòu)成的集合；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)，，時，由得

                        ①

 用去代得，，   ②

 ②—①得，，，                     

 在①中令得，，則0，∴，

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

∴=                                              

（2）當(dāng)，，時，

，                           ③

用去代得，，  ④  

④—③得，       ，      ⑤            

用去代得，，       ⑥

⑥—⑤得，，即，       

∴數(shù)列是等差數(shù)列.∵，，

∴公差，∴                          

易知數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴.

又是“數(shù)列”，得：對任意，必存在使

，

得，故是偶數(shù)，                          …

又由已知，，故                      

一方面，當(dāng)時，，對任意，

都有                                                        

另一方面，當(dāng)時，，，

則，

取，則，不合題意.                  

當(dāng)時，，，則

，       

當(dāng)時，，，

，       

又，∴或或或             

所以，首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合為