Question

6．對(duì)正整數(shù)n，x_n是方程nx³+2x-n=0的實(shí)數(shù)根，記a_n=[（n+1）x_n]（n=2，3，…）（其中符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.4]=3，[-3.4]=-4），則
（1）a₃=3；
（2）$\frac{1}{2015}（{a_2}+{a_3}+…+{a_{2016}}）$=1009．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=（n+1）x，得到x=$\frac{t}{n+1}$，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)，判斷a_n=[（n+1）X_n]=n然后求出a₃的值．
（2）直接利用等差數(shù)列求和公式以及（1）的結(jié)果，直接求解即可

解答 解：（1）設(shè)t=（n+1）x，則x=$\frac{t}{n+1}$，
∴nx³+2x-n=n•$\frac{{t}^{3}}{（n+1）^{3}}$+2•$\frac{t}{n+1}$-n，
記為g（t）=n•$\frac{{t}^{3}}{（n+1）^{3}}$+2•$\frac{t}{n+1}$，-n，n∈N，
當(dāng)n≥2，則g（t）是增函數(shù)，
方程g（t）=0只有一個(gè)實(shí)根t_n． 
∵g（n+1）=2＞0，g（n）=$\frac{n（1+n-{n}^{2}）}{（n+1）^{3}}$＜0，
∴n＜t_n＜n+1，
即n＜（n+1）x_n＜n+1，
∴a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴a₃=3．
（2）由（1）可知，a_n=[（n+1）x_n]=n，
∴$\frac{1}{2015}$（a₂+a₃+…+a₂₀₁₆）=$\frac{1}{2015}$×$\frac{（2+2016）×2015}{2}$=1009．
故答案為：3，1009．

點(diǎn)評(píng) 本題考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)列求和的基本方法，考查分析問題解決問題以及計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．