Question

10．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅+a₆=24，S₁₁=143，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n滿足2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-（a₁-1）（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列 {a_n}的通項(xiàng)公式
（2）若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，試證明T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求出公差即可求數(shù)列 {a_n}的通項(xiàng)公式
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，即可證明不等式T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的定義，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）在等差數(shù)列中，
∵S₁₁=143=11a₆，∴a₆=13，
∵a₅+a₆=24，∴a₅=11，即公差d=13-11=2，
則數(shù)列 {a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₆+2（n-6）=13+2（n-6）=2n+1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+$$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{4n+6}$＜$\frac{1}{6}$，
即T_n＜$\frac{1}{6}$；
（3）∵a₁=3，2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-（a₁-1），
∴4ⁿ=λT_n-2，
即T_n=$\frac{1}{λ}•{4}^{n}+\frac{2}{λ}$，當(dāng)n=1時(shí)，b₁=$\frac{6}{λ}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=$\frac{1}{λ}•{4}^{n}+\frac{2}{λ}$-$\frac{1}{λ}{4}^{n-1}-\frac{2}{λ}$=$\frac{3}{λ}•{4}^{n-1}$，
即b_n+1=4b_n，
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
則b₂=4b₁，
∵b₁=$\frac{6}{λ}$，b₂=$\frac{12}{λ}$，不滿足條件b₂=4b₁，
∴不存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列與不等式的關(guān)系，以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．