Question

19．過拋物線y²=2x的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條弦OA、OB．
（1）求AB中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求證：直線AB過定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），代入拋物線方程，求得交點(diǎn)A，再設(shè)出直線OB的方程，可得交點(diǎn)B，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)用平方消元，即可得到中點(diǎn)的軌跡方程；
（2）求得直線AB的方程，化簡整理，再令y=0，可得x=2，即可得證．

解答 （1）解：∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0，
∴設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），
∴聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，解得x_A=$\frac{2}{{k}^{2}}$，y_A=$\frac{2}{k}$，
以-$\frac{1}{k}$代上式中的k，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，
解得x_B=2k²，y_B=-2k
∴A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），B（2k²，-2k），
設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}（\frac{2}{{k}^{2}}+2{k}^{2}）}\\{y=\frac{1}{2}（\frac{2}{k}-2k）}\end{array}\right.$，
消去參數(shù)k，得y²=x-2，
即為AB中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）證明：由（1）得A（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），B（2k²，-2k），
則AB的斜率為$\frac{\frac{2}{k}+2k}{\frac{2}{{k}^{2}}-2{k}^{2}}$=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$，
則有直線AB的方程為y+2k=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2k²），
即為y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2），
令y=0，解得x=2．
則直線AB恒過定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及直線恒過定點(diǎn)的求法，屬于中檔題．