Question

9．在二項式${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，
（1）若所有二項式系數(shù)之和為64，求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（2）若前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，求展開式中各項的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（2）前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，求得n=8，再令x=1，可得展開式中各項的系數(shù)和．

解答 解：（1）由已知得$C_n^0+C_n^1+…+C_n^n=64$，2ⁿ=64，∴n=6，
展開式中二項式系數(shù)最大的項是${T_4}=C_6^3{（{x^{\frac{1}{3}}}）^{6-3}}{（-\frac{1}{2}{x^{-\frac{1}{3}}}）^3}=20•（-\frac{1}{8}）•{x^0}=-\frac{5}{2}$．
（2）展開式的通項為${T_{r+1}}={（-\frac{1}{2}）^r}C_n^r{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，（r=0，1，…，n）
由已知：${（-\frac{1}{2}）^0}C_n^0，（\frac{1}{2}）C_n^1，{（\frac{1}{2}）^2}C_n^2$成等差數(shù)列，$2×\frac{1}{2}C_n^1=1+\frac{1}{4}C_n^2$，∴n=8，
在${（\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中，令x=1，得各項系數(shù)和為$\frac{1}{256}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．