【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn), ,沿將翻折到,連接,得到如圖的五棱錐,且
(1)求證: 平面(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】試題分析:(1)先證明,從而,根據(jù)線面垂直的判定定理可證明平面;(2)設(shè),連接,以為原點(diǎn), 在直線為軸, 所在直線軸, 所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果.
試題解析:(1)點(diǎn)分別是的中點(diǎn)
菱形的對(duì)角線互相垂直
(2)設(shè),連接 為等邊三角形,
,在中,在中,
,以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則
設(shè)平面的法向量為,由得
令得
平面的一個(gè)法向量為,
由(1)知平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)求二面角的平面角為,
則
二面角的余弦值為
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=2n2﹣30n.
(1)求a1及an;
(2)判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB邊上異于AB的一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖),若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心,則AP等于( )
A.2
B.1
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,函數(shù)y=2sin(πx+φ),x∈R(其中0≤φ≤ )的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,1).
(1)求φ的值.
(2)設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn),M、N是圖象與x軸的交點(diǎn),求tan∠MPN的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為圓的圓心, 是圓上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在圓的半徑上,且有點(diǎn)和上的點(diǎn),滿足
(1)當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,與(1)中所求點(diǎn)的軌跡教育不同的兩點(diǎn) 是坐標(biāo)原點(diǎn),且時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù),試判斷是否為“類函數(shù)”?并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)是定義在上的“類函數(shù)”,求是實(shí)數(shù)的最小值;
(3)若 為其定義域上的“類函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),直線y=x+ 與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸為半徑的圓相切,F(xiàn)1 , F2為其左右焦點(diǎn),P為橢圓C上的任意一點(diǎn),△F1PF2的重心為G,內(nèi)心為I,且IG∥F1F2 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A為橢圓C上的左頂點(diǎn),直線∫過(guò)右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1 , k2滿足k1+
k2=﹣ ,求直線MN的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校從參加高三期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且滿分為100分),數(shù)學(xué)成績(jī)分組及樣本頻率分布表如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[40,50) | 2 | 0.04 |
[50,60) | 3 | 0.06 |
[60,70) | 14 | 0.28 |
[70,80) | 15 | ② |
[80,90) | ① | 0.24 |
[90,100] | 4 | 0.08 |
合計(jì) | ③ | ④ |
(1)請(qǐng)把給出的樣本頻率分布表中的空格都填上;
(2)為了幫助成績(jī)差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績(jī),學(xué)校決定成立“二幫一”小組,即從成績(jī)[90,100]中選兩位同學(xué),共同幫助[40,50)中的某一位同學(xué),已知甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?2分,乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?5分,求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率.
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