Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n+S_n=2n，
（1）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-2），若對任意的正整數(shù)n，均有b_n∈（-∞，m），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n+S_n=2n，令n=1可求a₁，n≥2時(shí)得a_n-1+S_n-1=2（n-1），兩式相減得a_n=

1

2

a_n-1+1，再構(gòu)造新的等比數(shù)列{a_n-2}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_n代入b_n=（2-n）（a_n-2）化簡，再化簡b_n+1-b_n并判斷出符號及對應(yīng)的n的范圍，可得數(shù)列{b_n}中項(xiàng)的變化情況，從而求出數(shù)列中最大的項(xiàng)，根據(jù)條件和恒成立問題，可求出實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得，a_n+S_n=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2，∴a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+S_n=2n，a_n-1+S_n-1=2（n-1），
兩式相減得，2a_n-a_n-1=2，則a_n=

1

2

a_n-1+1，
令a_n+k=

1

2

（a_n-1+k），即a_n=

1

2

a_n-1-

1

2

k，解得k=-2，
所以

an-2

an-1-2

=

1

2

，且a₁-2=-1
所以數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
則a_n-2=（-1）×(

1

2

)n-1=-

1

2n-1

，即a_n=-

1

2n-1

+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=（2-n）（a_n-2）=（n-2）•

1

2n-1

，
所以b_n+1-b_n=

n-1

2n

-

n-2

2n-1

=

3-n

2n

，
則當(dāng)n≤3時(shí)，b_n+1＞b_n；當(dāng)n＞4時(shí)，b_n+1＜b_n，
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
即b_n有最大值b₃=b₄=

1

4

，
因?yàn)閷θ我獾恼�整�?shù)n，均有b_n∈（-∞，m），
即b_n＜m對任意的正整數(shù)n都成立，所以m＞

1

4

，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系，利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的項(xiàng)的變化趨勢，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項(xiàng)問，注意構(gòu)造法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，試題具有一定的綜合性．