Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，給出如下四個命題：
①f（x）在[

2

，+∞）上是減函數(shù)；②f（x）的最大值是2；
③函數(shù)f（x）=sint有兩個零點；④f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立．
其中正確的命題有

 

．（把正確的命題序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用,簡易邏輯

分析：求出函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)的單調區(qū)間及極值點，求出函數(shù)的最值，由函數(shù)解析式等于0求出函數(shù)的零點，再結合sint的值域可得f（x）=sint的零點個數(shù)，然后逐一核對四個選項得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，
當x＜0時，f'（x）=e^x+1＞0，故函數(shù)在（-∞，0）上單調遞增；
當x＞0時，f'（x）=2-x²，故函數(shù)在（0，

2

）上單調遞增，在[

2

，+∞）上是減函數(shù)；
∴當x=

2

時，函數(shù)f（x）的最大值是f（

2

）=

4 2

3

，則f（x）≤

4

3

2

在R上恒成立；
當x≥0時，由-

1

3

x3+2x=0，解得x=0或x=

6

，函數(shù)y=f（x）有兩個零點分別為0，

6

．
又sint∈[-1，1]，
∴函數(shù)f（x）=sint有兩個零點．
綜上可知，正確的命題有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，是中檔題．