Question

12．已知拋物線E：x²=2py （p＞0）上一點(diǎn)T（t，4）（ t＞0）到其焦點(diǎn)F的距離為5，經(jīng)過點(diǎn)Q（1，1）作斜率為k（k∈R）的直線交拋物線E于A、B兩點(diǎn)，拋物線E分別在點(diǎn)A、B處的切線相交于點(diǎn)P．
（1）求p，t的值和拋物線E的準(zhǔn)線l方程
（2）當(dāng)k=0時，問點(diǎn)P是否在E的準(zhǔn)線l上？為什么？
（3）當(dāng)k （k∈R）變化時，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件可知，點(diǎn)T到拋物線E的準(zhǔn)線l：y=$-\frac{p}{2}$的距離為5，即4+$\frac{p}{2}$=5，解得p，即可得出t及其準(zhǔn)線方程．
（2）k=0時，直線AB：y=1，此時解得A（2，1），B（-2，1）．利用導(dǎo)數(shù)可得：${y}^{′}=\frac{1}{2}x$，可得拋物線在A，B處切線斜率及其切線方程，聯(lián)立解得交點(diǎn)，即可判斷出點(diǎn)P是否在E的準(zhǔn)線l上．
（3）AB：y-1=k（x-1），將它與拋物線方程聯(lián)立，可得x²-4kx+4k-4=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，聯(lián)立解出交點(diǎn)，化簡整理即可得出．

解答 解．（1）由題設(shè)條件可知，點(diǎn)T到拋物線E的準(zhǔn)線l：y=$-\frac{p}{2}$的距離為5，
即4+$\frac{p}{2}$=5，得到 p=2，從而 E：x²=4y，t=4 （ t＞0），
∴E的準(zhǔn)線l方程為 y=-1．
（2）k=0時，直線AB：y=1，此時解得A（2，1），B（-2，1）．
∵E在點(diǎn)A處切線斜率為${k_{PA}}=y'{|_{x={x_A}}}=\frac{x_A}{2}=1$，
故拋物線E在點(diǎn)A處切線PA方程為：x-y-1=0．
同理，切線PB方程為：x+y+1=0，
解$\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ x+y+1=0\end{array}\right.$，得點(diǎn)P坐標(biāo)為 （0，-1 ），
∵點(diǎn)P坐標(biāo)滿足準(zhǔn)線l的方程y=-1，
故點(diǎn)P在E的準(zhǔn)線l上．
（3）∵直線AB的斜率為k，
故AB：y-1=k（x-1），
將它與拋物線方程聯(lián)立，可得x²-4kx+4k-4=0，
設(shè)A（x₁，$\frac{x_1^2}{4}$），B（x₂，$\frac{x_2^2}{4}$），顯然，x₁≠x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=4k-4\end{array}\right.$…①．
∵${k_{PA}}=y'{|_{x={x_1}}}=\frac{x_1}{2}$，
∴PA方程為：$y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，即PA：4y=2x₁x-x₁²…②
同理PB：4y=2x₂x-x₂²…③…
設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P坐標(biāo)同時滿足②、③．
②-③，整理得 2x（x₁-x₂）=（x₁-x₂） （x₁+x₂），
∵x₁≠x₂，∴2x=x₁+x₂…④．
將④代入②，消去x，得4y=x₁（x₁+x₂）-x₁²，
整理得4y=x₁x₂…⑤…
將①代入④、⑤整理，得$\left\{\begin{array}{l}x=2k\\ y=k-1\end{array}\right.$，
消去k，得到，點(diǎn)P的軌跡方程為：x-2y-2=0．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．