Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x+alnx，
（1）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）當(dāng)a＞0時，若方程f（x）=t恰有三個不同的根，試求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對已知函數(shù)進行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求出極值點，討論極值點的大小，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點；
（2）當(dāng)a＞0時，根據(jù)方程f（x）-t=0有三個不同的根，即f（x）=t，有三個解，說明t處在f（x）的最大值和最小值之間，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極值點，分類討論從而進行求解

解答 （本小題10分）．
解：（1）當(dāng)a=3時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x+3lnx，定義域（0，+∞）-------1
f′（x）=x-4+$\frac{3}{x}$=$\frac{（x-1）（x-3）}{x}$--------1
令f′（x）=0得x=1或x=3，

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

---------1
∴f（x）的極值點為x=1或3------1
（注：若不列表，則須寫“經(jīng)檢驗”等字，否則要扣（1分）．）
（2）f′（x）=x-（1+a）+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（1+a）x+a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$---------1
令f′（x）=0，得x=1或x=a（a＞0）
①當(dāng)a=1時，f′（x）≥0，由圖象可知，不存在這樣的實數(shù)t；-----------1
②當(dāng)0＜a＜1時，
由圖象可知，

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	$-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna$	遞減	-$\frac{1}{2}-a$	遞增

-$\frac{1}{2}-a＜t＜$$-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna$；--------2
③當(dāng)a＞1時，

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	-$\frac{1}{2}-a$	遞減	$-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna$	遞增

由圖象可知，$-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna＜t＜-\frac{1}{2}-a$------1
綜上：當(dāng)a=1時，不存在這樣的實數(shù)t；
當(dāng)＜a＜10時，$-\frac{1}{2}-a＜t＜-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna$；
當(dāng)a＞1時，$-a-\frac{1}{2}{a}^{2}+alna＜t＜-\frac{1}{2}-a$．------1

點評 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與函數(shù)的最值，第一問思路簡單，第二問就比較麻煩，討論情況多比較復(fù)雜，利用數(shù)形結(jié)合的方法也很容易解決，屬于難題．