Question

2．平面直角坐標(biāo)系中，圓C₁參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），橢圓C₂的極坐標(biāo)方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$．
（1）求橢圓C₂直角坐標(biāo)方程，若A（x，y）是橢圓C₂上任意一點(diǎn)，求x+$\sqrt{2}y$取值范圍；
（2）若P是橢圓C₂上任意一點(diǎn)，Q為圓C₁上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C₂的極坐標(biāo)方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得x²+2y²=2，設(shè)A$（\sqrt{2}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π）），則x+$\sqrt{2}y$=$2sin（α+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，即可得出；
（2）圓C₁參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$化為x²+（y-1）²=4．如圖所示，圓C₁與橢圓C₂相切于點(diǎn)M，且除了點(diǎn)M以外橢圓上的所有點(diǎn)都在圓的內(nèi)部，即可得出．

解答 解：（1）由橢圓C₂的極坐標(biāo)方程：${ρ}^{2}=\frac{2}{co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$，可得x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
設(shè)A$（\sqrt{2}cosα，sinα）$，（α∈[0，2π）），則x+$\sqrt{2}y$=$\sqrt{2}cosα+\sqrt{2}sinα$=$2sin（α+\frac{π}{4}）$∈[-2，2]，
∴x+$\sqrt{2}y$取值范圍是[-2，2]；
（2）圓C₁參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$化為x²+（y-1）²=4．
如圖所示，圓C₁與橢圓C₂相切于點(diǎn)M，且除了點(diǎn)M以外橢圓上的所有點(diǎn)都在圓的內(nèi)部，
因此當(dāng)點(diǎn)P取點(diǎn)M且PQ為圓C₁的直徑時(shí)，|PQ|取得最大值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、橢圓與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題