Question

如圖，已知點(diǎn)P是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱CC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAB₁⊥平面ABB₁A₁；
（2）若AB=AA₁，求平面PAB₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：幾何法：
（1）設(shè)A₁B∩AB₁=Q，連結(jié)PQ．由已知條件推導(dǎo)出PQ⊥AB₁．PQ⊥A₁B．從而得到PQ⊥平面ABB₁A₁．由此能證明平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）設(shè)AB=AA₁=2，求出S△APB1=

6

，S_△ABC=

3

，由此能求出平面APB₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．
向量法：
（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，并設(shè)AB=a，AA₁=b，由此利用向量法能證明面APB₁⊥面ABB₁A₁．
（2）設(shè)a=b=1，分別求出平面APB₁的一個(gè)法向量和平面ABC的一個(gè)法向量，由此利用向量法能證明平面PAB₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答： 幾何法：
（1）證明：設(shè)A₁B∩AB₁=Q，連結(jié)PQ．
∵P是CC₁的中點(diǎn)，∴AP=B₁P，
又Q是A₁B₁中點(diǎn)，∴PQ⊥AB₁．
同理可證PQ⊥A₁B．∴PQ⊥平面ABB₁A₁．
又PQ?平面APB₁，∴平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：不妨設(shè)AB=AA₁=2，
則AQ=

2

，PA=

5

，PQ=

3

，
∴S△APB1=

1

2

×AB1×PQ=AQ×PQ=

2

×

3

=

6

．
又S_△ABC=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
∴平面APB₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值為

S△ABC

S△APB1

=

3

6

=

2

2

．
向量法：
（1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，并設(shè)AB=a，AA₁=b
則A（0，0，0），B=(

3 a

2

，

a

2

，0)，
B1=(

3 a

2

，

a

2

，b)P(0，a，

b

2

)．

AB

=(

3 a

2

，

a

2

，0)，

AB1

=(

3 a

2

，

a

2

，b)

AP

=(0，a，

b

2

)．
設(shè)向量

m

=(1，x，y)是平面ABB₁的一個(gè)法向量，
則

m

•

AB

=(1，x，y)•(

3 a

2

，

a

2

，0)=

3 a

2

+

ax

2

=0，

m

•

AB1

=(1，x，y)•(

3 a

2

，

a

2

，b)=

3 a

2

+

ax

2

+by=0
解得：x=-

3

，y=0，∴

m

=(1，-

3

，0)，
又設(shè)

n

=(x0，y0，1)是平面APB₁的一個(gè)法向量，
則

n

•

AP

=(x0，y0，1)•(0，a，

b

2

)=ay0+

b

2

=0，

n

•

AB1

=(x0，y0，1)•(

3 a

2

，

a

2

，b)=

3 a

2

x0+

a

2

y0+b=0，
解得x0=-

3 b

2a

，y0=-

b

2a

，∴

n

=(-

3 b

2a

，-

b

2a

，1)，
∴

m

•

n

=(1，-

3

，0)•(-

3 b

2a

，-

b

2a

，1)=0．
∴平面APB₁⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：不妨設(shè)a=b=1，則平面APB₁的一個(gè)法向量

n

=(-

3

2

，-

1

2

，1)．
又平面ABC的一個(gè)法向量是

n0

=(0，0，1)，
∵cos＜

n

，

n.0

＞=

n• n0

| n || n0 |

=

1

2 ×1

=

2

2

，
∴平面PAB₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查平面與平面所成銳二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．