Question

15．.假設(shè)某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$
試求：（1）y與x之間的回歸方程；
（2）當(dāng)使用年限為10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值．
（2）根據(jù)第一問(wèn)做出的a，b的值，寫(xiě)出線性回歸方程，當(dāng)自變量為10時(shí)，代入線性回歸方程，求出維修費(fèi)用，這是一個(gè)預(yù)報(bào)值．

解答 解：（1）根據(jù)題表中數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示：

從散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)都集中分布在一條直線附近，因此y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．利用題中數(shù)據(jù)得：
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，
$\sum_{i=1}^{n}$x_iy_i=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²+6²=90，
所以$\widehat$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5{×4}^{2}}$=1.23，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=0.08，
∴線性回歸方程為$\widehat{y}$=1.23x+0.08．
（2）當(dāng)x=10時(shí)，$\widehat{y}$=1.23×10+0.08=12.38（萬(wàn)元），
即當(dāng)使用10年時(shí)，估計(jì)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報(bào)值的求法，是一個(gè)新課標(biāo)中出現(xiàn)的新知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)在廣東的高考卷中出現(xiàn)過(guò)類似的題目．