Question

若給一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)染色，要求相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)（即同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)）顏色不能相同，則至少需要

 

種顏色；現(xiàn)有5種不同的顏色，要給正方體的六個(gè)面涂色，要求相鄰的兩個(gè)面不能用同一種顏色，則共有

 

種不同的涂色方法．

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：由于涂色過(guò)程中，要保證滿足用五種顏色，且相鄰的面不同色，對(duì)于正方體的三對(duì)面來(lái)說(shuō)，必然有三對(duì)同色或兩對(duì)同色，一對(duì)不同色，而且三對(duì)面具有“地位對(duì)等性”．

解答： 解：（1）如圖，頂點(diǎn)A的先選一種，則B，D，A₁，可以相同選另一種顏色，若C，D₁，B₁與A 的顏色相同，C₁和B的顏色相同，故至少需要2種顏色．
（2）解：由于涂色過(guò)程中，要保證滿足用五種顏色，且相鄰的面不同色，對(duì)于正方體的三對(duì)面來(lái)說(shuō)，必然有三對(duì)同色或兩對(duì)同色，一對(duì)不同色，而且三對(duì)面具有“地位對(duì)等性”，因此，
三對(duì)同色：

C

3 5

=10種不同的涂法；
兩對(duì)同色，一對(duì)不同色：只需從四種顏色中選擇2種涂在其中兩對(duì)面上，剩下的兩種顏色涂在另外兩個(gè)面即可．因此共有

C

2 5

=10種不同的涂法．
故共有10+10=20種不同的涂法
故答案為：2，20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了排列，組合和簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答該題的關(guān)鍵是對(duì)題目中注明的涂色后，任意翻轉(zhuǎn)正方體，能使正方體各面顏色一致，我們認(rèn)為是同一種涂色方法的理解，這樣使看似復(fù)雜的問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單的選色（即組合）問(wèn)題，屬中檔題．