Question

9．已知函數(shù)f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$存在單調(diào)遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=e^x相切，符合情況的切線l有0條．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設(shè)l與曲線y=e^x相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$x₀-1，設(shè)h（x）=e^xx-e^x-1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{a}$e${\;}^{\frac{x}{a}}$，
依題意可知，f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，
①a＜0時(shí)，f′（x）＜0 在（-∞，+∞）無解，不符合題意；
②a＞0時(shí)，f′（x）＞0即a＞e${\;}^{\frac{x}{a}}$，lna＞$\frac{x}{a}$，x＜alna符合題意，則a＞0．
易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1-$\frac{1}{a}$）x-1．
假設(shè)l與曲線y=e^x相切，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，
消去a得e${\;}^{{x}_{0}}$=e${\;}^{{x}_{0}}$x₀-1，
設(shè)h（x）=e^xx-e^x-1，
則h′（x）=e^xx，令h′（x）＞0，則x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則e${\;}^{{x}_{0}}$＞1，
而a＞0時(shí)，1-$\frac{1}{a}$＜1，與e${\;}^{{x}_{0}}$＞1矛盾，所以不存在．
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查直線方程的運(yùn)用和構(gòu)造函數(shù)法，以及函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．