Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，且當x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），求f（-2011）+f（2013）的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到f（x+4）=f（x），利用函數(shù)的奇偶性，將條件進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：當x≥0，都有f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴此時f（x+4）=f（x），
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵當x∈[0，2]時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1，
即f（2013）=1，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-2011）=f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=f（1）=1，
∴f（-2011）+f（2013）=1+1=2．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．