Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=log₂a_n，設(shè)數(shù)列${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式T_n＞9成立的最小正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）對(duì)任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差數(shù)列．可得2a_n=S_n+2，n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2，相減可得a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n．可得${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，利用累加求和與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵對(duì)任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
∴2a_n=S_n+2，
∴n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2，相減可得：2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
n=1時(shí)，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n．
∴${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
不等式T_n＞9即$\sqrt{n+1}$＞10，解得n≥10．
∴使不等式T_n＞9成立的最小正整數(shù)n=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、累加求和與不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力屬于中檔題．