Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos2x+acosx+2．
（1）若a＞0，且當(dāng)x∈R時，f（x）的最小值為-1，求實數(shù)a的值；
（2）若a=2，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）＞m（cosx+1）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)f（x）化簡，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，即可求解出實數(shù)a的值；
（2）f（x）＞m（cosx+1）恒成立，轉(zhuǎn)化為cos2x+acosx-mcosx＞m-2．令cos2x+acosx-mcosx為新函數(shù)g（x）求解a=2，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的最小值，即可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos2x+acosx+2=2cos²x+acosx+1=2（cosx+$\frac{a}{4}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{8}$．
∵a＞0，且當(dāng)x∈R時，f（x）的最小值為-1，
∴當(dāng)cosx=-$\frac{a}{4}$時，f（x）_min=1-$\frac{{a}^{2}}{8}$=-1，解得a=4．
（2）由題意，f（x）＞m（cosx+1）恒成立，
即cos2x+acosx-mcosx＞m-2．
令cos2x+acosx-mcosx=g（x）
當(dāng)a=2時，g（x）=2cos²x-1+2cosx-1-mcosx=2cos²x+（2-m）cosx+1=2（cosx-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，cosx∈[0，1]．
若：0≤$\frac{m-2}{4}$≤1，即：2≤m≤6時，g（x）的最小值為：1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：$6-2\sqrt{6}$＜m＜6+2$\sqrt{6}$．
∴可得實數(shù)m的取值范圍是：2≤m≤6．
若：$\frac{m-2}{4}$＜0，即：2＞m時，g（x）的最小值為：2（0-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：m＜3．
∴可得實數(shù)m的取值范圍是：m＜2．
若：$\frac{m-2}{4}$＞1，即：6＜m時，g（x）的最小值為：2（1-$\frac{m-2}{4}$）²+1-$\frac{（m-2）^{2}}{8}$＞m-2．
可得：m＜$\frac{7}{2}$．
∴m無解
綜合可得：實數(shù)m的取值范圍是：（-∞，6]．

點評 本題考查考查三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．