Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，且a₃+a₄=20，a₂•a₅=91，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1-$\frac{1}{2}$b_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若c_n=$\frac{{3}^{n}_{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和H_n＜$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}公差為d，根據(jù)條件列出關(guān)于a₁和d的方程組，解出a₁和d即可得到通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
（2）利用b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{1}，n=1}\\{{T}_{n}-{T}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$解出b₁和遞推公式，證明b_n為等比數(shù)列，得出公比，從而得出通項(xiàng)公式；
（3）求出c_n的通項(xiàng)公式，利用列項(xiàng)求和法求出H_n即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，∵a₃+a₄=20，a₂•a₅=91，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2a}_{1}+5d=20}\\{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+4d）=91}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=5+2（n-1）=2n+3．
S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}×n$=n²+4n．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1-$\frac{1}{2}$b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=1-$\frac{1}{2}$b_n-（1-$\frac{1}{2}$b_n-1）=$\frac{1}{2}$b_n-1-$\frac{1}{2}$b_n，
∴$\frac{3}{2}_{n}$=$\frac{1}{2}$b_n-1，∴$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴{b_n}是以$\frac{2}{3}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列．
∴b_n=$\frac{2}{3}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$．
（3）c_n=$\frac{{3}^{n}•\frac{2}{{3}^{n}}}{（2n+3）（2n+5）}$=$\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}$．
∴H_n=c₁+c₂+…+c_n=$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}-\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{2n+5}$＜$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的列項(xiàng)法求和，屬于中檔題．