Question

14．如圖，設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，求M的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的性質和已知條件求出拋物線方程，進一步求得p值；
（Ⅱ）設出直線AF的方程，與拋物線聯(lián)立，求出B的坐標，求出直線AB，F(xiàn)N的斜率，從而求出直線BN的方程，根據(jù)A、M、N三點共線，可求出M的橫坐標的表達式，從而求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，拋物線上點A到焦點F的距離等于A到直線x=-1的距離，
由拋物線定義得，$\frac{p}{2}=1$，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，拋物線方程為y²=4x，F(xiàn)（1，0），可設（t²，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF不垂直y軸，
∴設直線AF：x=sy+1（s≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=sy+1}\end{array}\right.$，得y²-4sy-4=0．
y₁y₂=-4，
∴B（$\frac{1}{{t}^{2}}，-\frac{2}{t}$），
又直線AB的斜率為$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$，故直線FN的斜率為$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$，
從而得FN：$y=-\frac{{t}^{2}-1}{2t}（x-1）$，直線BN：y=-$\frac{2}{t}$，
則N（$\frac{{t}^{2}+3}{{t}^{2}-1}，-\frac{2}{t}$），
設M（m，0），由A、M、N三點共線，得$\frac{2t}{{t}^{2}-m}=\frac{2t+\frac{2}{t}}{{t}^{2}-\frac{{t}^{2}+3}{{t}^{2}-1}}$，
于是m=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$，得m＜0或m＞2．
經(jīng)檢驗，m＜0或m＞2滿足題意．
∴點M的橫坐標的取值范圍為（-∞，0）∪（2，+∞）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查數(shù)學轉化思想方法，屬中檔題．