Question

5．已知圓C₁：x²+y²+Dx+Ey+F=0關(guān)于直線x+y-2=0對稱，且經(jīng)過點（0，0）和（4，0）．
（Ⅰ）求圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）已知圓C₂的方程為（x-2）²+y²=1．
（i）若過原點的直線l與C₂相交所得的弦長為$\sqrt{2}$，求l的方程；
（ii）已知斜率為k的直線m過圓C₂上一動點，且與圓C₁相交于A、B兩點，射線PC₂交圓C₁于點Q，求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓C₁：x²+y²+Dx+Ey+F=0關(guān)于直線x+y-2=0對稱，且經(jīng)過點（0，0）和（4，0），建立方程組，即可求圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，利用過原點的直線l與C₂相交所得的弦長為$\sqrt{2}$，求l的方程；
（ii）利用S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$，求△ABQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}-\frac{E}{2}-2=0}\\{F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-4，E=F=0，
∴圓C₁的標準方程（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）（i）斜率不存在時，方程為x=0，與C₂無交點，不滿足題意；
斜率存在時，設(shè)方程為kx-y=0，則圓心到直線的距離為$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∵過原點的直線l與C₂相交所得的弦長為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴l(xiāng)的方程為x$±\sqrt{7}$y=0；
（ii）設(shè)P（x₀，y₀），AB：：y-y₀=k（x-x₀），
∵|C₂Q|=2|C₂P|，
∴${S}_{△B{C}_{2}Q}=2{S}_{△B{C}_{2}P}，{S}_{△A{C}_{2}Q}=2{S}_{△A{C}_{2}P}$，
∴S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$
圓心C₂到直線AB的距離d=$\frac{|k（2-{x}_{0}）+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（0＜d≤1），|AB|=2$\sqrt{4-esrwyfh^{2}}$，
∵${S}_{△AB{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|d，
∴S_△ABQ=$3{S}_{△AB{C}_{2}}$=3d$\sqrt{4-ysepe93^{2}}$=3$\sqrt{-（tmn0bbx^{2}-2）^{2}+4}$
∴d²=1時，△ABQ的面積最大，最大為3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．