Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上的點(diǎn)，且$\frac{BE}{EC}$=λ．
（Ⅰ）求證：平面ADM⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，推導(dǎo)出四邊形ADMN為平行四邊形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥AN，AN⊥MN，由此能證明平面ADM⊥平面PBC．
（Ⅱ）λ=1時(shí)，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∠PDA為二面角P-DE-B的一個(gè)平面角，由此推導(dǎo)出二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 證明：（Ⅰ）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，
∵M(jìn)是PC中點(diǎn)，∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC=2$，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四邊形ADMN為平行四邊形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，
∵AP=AB，∴AN⊥PB，∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)λ=1，使得二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵λ=1，∴點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，
∴DE∥AB，∴DE⊥平面PAD，
∴∠PDA為二面角P-DE-B的一個(gè)平面角，
在等腰Rt△PDA中，∠PDA=$\frac{π}{4}$，
∴二面角P-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．