【題目】設(shè)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,
∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0,
g′(x)= ﹣2a= ,
當(dāng)a≤0,g′(x)>0恒成立,即可g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞);
當(dāng)a>0,當(dāng)x> 時,g′(x)<0,函數(shù)為減函數(shù),
當(dāng)0<x< ,g′(x)>0,函數(shù)為增函數(shù),
∴當(dāng)a≤0時,g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞);
當(dāng)a>0時,g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0, ),單調(diào)減區(qū)間是( ,+∞)
(2)
解:∵f(x)在x=1處取得極大值,∴f′(1)=0,
①當(dāng)a≤0時,f′(x)單調(diào)遞增,
則當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,∴f(x)在x=1處取得極小值,不合題意,
②當(dāng)0<a< 時, >1,由(1)知,f(x)在(0, )內(nèi)單調(diào)遞增,
當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,當(dāng)1<x< 時,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1, )內(nèi)單調(diào)遞增,即f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.
③當(dāng)a= 時, =1,f′(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
則當(dāng)x>0時,f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.
④當(dāng)a> 時,0< <1,
當(dāng) <x<1時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>1時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=1時,f(x)取得極大值,滿足條件.
綜上實數(shù)a的取值范圍是a> .
【解析】(1)先求出g(x)=f′(x)的解析式,然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x),利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)分別討論a的取值范圍,根據(jù)函數(shù)極值的定義,進行驗證即可得到結(jié)論.;本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵.綜合性較強,難度較大.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,左頂點為,過原點且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點,其中點在第二象限,過點作軸的垂線交于點.
⑴求橢圓的標準方程;
⑵當(dāng)直線的斜率為時,求的面積;
⑶試比較與大小.
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【題目】設(shè)橢圓 1(a> )的右焦點為F,右頂點為A,已知 ,其中O為原點,e為橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直線l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)過程中,我們通常遇到相似的問題.
(1)已知動點為圓: 外一點,過引圓的兩條切線、. 、為切點,若,求動點的軌跡方程;
(2)若動點為橢圓: 外一點,過引橢圓的兩條切線、. 、為切點,若,猜想動點的軌跡是什么,請給出證明并求出動點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx,則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( 。
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】已知函數(shù),
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)求在區(qū)間上的最小值;
(3)在(1)的條件下,若,求證:當(dāng),恒有
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且,
(1)證明:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項公式,并求出n為何值時,取得最小值,并說明理由。
()
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【題目】函數(shù)在同一個周期內(nèi),當(dāng)時y取最大值1,當(dāng)時,y取最小值﹣1.
(1)求函數(shù)的解析式y=f(x);
(2)函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y=f(x)的圖象?
(3)若函數(shù)f(x)滿足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和.
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