Question

（本小題共12分）
如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）若動(dòng)點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；
（2）若過點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

Answer 1

（I）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓 （II）（3－2，1）.

解析試題分析：（I）由，  ∴直線l的斜率為 
故l的方程為，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）
設(shè)   則，
由得
整理，得 
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓
（II）由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)①
將①代入，整理，得，
由△>0得0<k²<.  設(shè)E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)
則 ②
令，由此可得
由②知

.
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.
考點(diǎn)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；而對(duì)于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式.