(本小題共12分)
如圖,已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2,1),且與x軸交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),
定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).
(1)若動(dòng)點(diǎn)M滿足,求點(diǎn)M的軌跡C;
(2)若過(guò)點(diǎn)B的直線l′(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.
(I)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為2的橢圓 (II)(3-2,1).
解析試題分析:(I)由, ∴直線l的斜率為
故l的方程為,∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0)
設(shè) 則,
由得
整理,得
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為2的橢圓
(II)由題意知直線l的斜率存在且不為零,設(shè)l方程為y=k(x-2)(k≠0)①
將①代入,整理,得,
由△>0得0<k2<. 設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2)
則 ②
令,由此可得
由②知
.
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3-2,1).
考點(diǎn):本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):對(duì)于直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,往往要聯(lián)立方程,同時(shí)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解;而對(duì)于最值問(wèn)題,則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示,然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡(jiǎn)結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計(jì)算方式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值。
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已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),且.
(1)求直線的方程;
(2)求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.
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(本小題滿分14分)
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓 上,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)處的切線分別為,且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在,指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)); 若不存在,說(shuō)明理由.
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已知橢圓的離心率為,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值。
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已知橢圓(a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-,0).若,求直線l的傾斜角;
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(本小題滿分14分)已知圓的圓心為原點(diǎn),且與直線相切。
(1)求圓的方程;
(2)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)為,求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)。
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已知橢圓E:的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(),點(diǎn)M(,)在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)Q(1,0),過(guò)Q點(diǎn)引直線與橢圓E交于兩點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
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(本小題滿分12分)
如圖,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,準(zhǔn)線與圓相切.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)在拋物線上,且,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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