Question

13．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）圓心C（0，1）到直線l的距離d=$\frac{|0+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，與圓的r比較即可判斷出位置關(guān)系．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1，可得x²+（y-1）²=1．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展開為$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，化為x+y-2=0．
（2）圓心C（0，1）到直線l的距離d=$\frac{|0+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=r．
∴直線l與曲線C相交．

點評 本題考查了曲線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．