13．已知A為橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AB，AC分別過(guò)焦點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2，且與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若當(dāng)AC⊥x軸時(shí)，恰好有|AF1|：|AF2|=3：1，則該橢圓的離心率為（　　）
A．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D．$\frac{1}{3}$

分析 由橢圓方程求出|AF2|的長(zhǎng)，結(jié)合橢圓定義求得|AF1|，再由|AF1|：|AF2|=3：1列式求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)橫坐標(biāo)為c，不妨設(shè)A為橢圓在第一象限的點(diǎn)，
當(dāng)AC⊥x軸時(shí)，由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），得yA=$\frac{^{2}}{a}$．
即|AF2|=$\frac{^{2}}{a}$，由橢圓定義得，|AF1|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，
又|AF1|：|AF2|=3：1，得$\frac{2a-\frac{^{2}}{a}}{\frac{^{2}}{a}}$=3，即a2=2b2=2（a2-c2），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了橢圓的定義，是基礎(chǔ)題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，求證：直線PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN與平面AA1C1C所成的二面角為45°，試確定點(diǎn)P的位置．

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4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的右頂點(diǎn)為A，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．過(guò)點(diǎn)O的直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別交y軸于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$，求實(shí)數(shù)λ的值；
（3）以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)圓C的半徑為，且圓心C在直線l：y=2x-4上．
（Ⅰ）若圓心C又在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求此切線的方程；
（Ⅱ）若圓C上存在點(diǎn)M，使得|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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8．F1、F2分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，若△PF1F2的面積為16，則b=（　　）
A．1B．2C．3D．4

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18．已知點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1F2分別是其左、右焦點(diǎn)，若|PF1|=2|PF2|，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{3}$]B．（$\frac{1}{3}$，1）C．（0，$\frac{1}{3}$）D．[$\frac{1}{3}$，1）

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5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（2，0），則橢圓的短軸長(zhǎng)為（　　）
A．2B．4C．6D．4$\sqrt{3}$

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2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的$\sqrt{3}$倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l經(jīng)過(guò)M與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若S△ABO=$\sqrt{3}$，直線l的方程．

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3．已知橢圓W：$\frac{x^2}{4}$+y2=1，直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2）與橢圓W交于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)C為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為$\frac{3}{2}$時(shí)，求線段OC的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB面積等于1時(shí)，求直線l的斜率．

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