13．已知A為橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的一個動點，直線AB，AC分別過焦點，F(xiàn)1，F(xiàn)2，且與橢圓交于B，C兩點，若當AC⊥x軸時，恰好有|AF1|：|AF2|=3：1，則該橢圓的離心率為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D．$\frac{1}{3}$

分析 由橢圓方程求出|AF2|的長，結(jié)合橢圓定義求得|AF1|，再由|AF1|：|AF2|=3：1列式求得橢圓的離心率．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點橫坐標為c，不妨設(shè)A為橢圓在第一象限的點，
當AC⊥x軸時，由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），得yA=$\frac{^{2}}{a}$．
即|AF2|=$\frac{^{2}}{a}$，由橢圓定義得，|AF1|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，
又|AF1|：|AF2|=3：1，得$\frac{2a-\frac{^{2}}{a}}{\frac{^{2}}{a}}$=3，即a2=2b2=2（a2-c2），
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓的定義，是基礎(chǔ)題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

5．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在直線A1B1上，且滿足$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$．
（1）當λ=1時，求證：直線PN⊥平面AMN；
（2）若平面PMN與平面AA1C1C所成的二面角為45°，試確定點P的位置．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的右頂點為A，兩焦點坐標分別為（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．過點O的直線交橢圓C于M、N兩點，直線AM、AN分別交y軸于P、Q兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{MA}$，求實數(shù)λ的值；
（3）以線段PQ為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），設(shè)圓C的半徑為，且圓心C在直線l：y=2x-4上．
（Ⅰ）若圓心C又在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求此切線的方程；
（Ⅱ）若圓C上存在點M，使得|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

8．F1、F2分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}$⊥$\overrightarrow{P{F_2}}$，若△PF1F2的面積為16，則b=（　　）
A．1B．2C．3D．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．已知點P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1F2分別是其左、右焦點，若|PF1|=2|PF2|，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�
A．（0，$\frac{1}{3}$]B．（$\frac{1}{3}$，1）C．（0，$\frac{1}{3}$）D．[$\frac{1}{3}$，1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一個焦點為（2，0），則橢圓的短軸長為（　�。�
A．2B．4C．6D．4$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍，且經(jīng)過點（$\sqrt{3}$，1），O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l經(jīng)過M與橢圓相交于A、B兩點，若S△ABO=$\sqrt{3}$，直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3．已知橢圓W：$\frac{x^2}{4}$+y2=1，直線l過點（0，-2）與橢圓W交于兩點A，B，O為坐標原點．
（Ⅰ）設(shè)C為AB的中點，當直線l的斜率為$\frac{3}{2}$時，求線段OC的長；
（Ⅱ）當△OAB面積等于1時，求直線l的斜率．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案