Question

3．已知橢圓W：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，直線l過點(diǎn)（0，-2）與橢圓W交于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)C為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為$\frac{3}{2}$時(shí)，求線段OC的長；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB面積等于1時(shí)，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為$\frac{3}{2}$時(shí)，直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x-2，代入橢圓方程，求出C的坐標(biāo)，即可求線段OC的長；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx-2，代入橢圓方程，利用△OAB面積等于1時(shí)，求直線l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率為$\frac{3}{2}$時(shí)，直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x-2．…（1分）
代入橢圓方程得5x²-12x+6=0，…（2分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．
則${x_1}+{x_2}=\frac{12}{5}$，…（3分）
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)${x_0}=\frac{6}{5}$，${y_0}=\frac{3}{2}{x_0}-2=-\frac{1}{5}$，…（4分）
所以$|{OC}|=\sqrt{{{（\frac{6}{5}）}^2}+{{（-\frac{1}{5}）}^2}}=\frac{{\sqrt{37}}}{5}$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx-2，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx-2\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16kx+12=0，…（6分）
所以△=（16k）²-48（1+4k²）=16（4k²-3）…（7分）
${x_1}+{x_2}=\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$．…（8分）
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{16k}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4×\frac{12}{{1+4{k^2}}}}$=$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}$．…（10分）
原點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．…（11分）
所以△OAB面積為$\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}•\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}$．
因?yàn)椤鱋AB面積等于1，
所以$\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{1+4{k^2}}}=1$，…（12分）
解得$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，…（13分）
帶入判別式檢驗(yàn)，符合題意，所以$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．