Question

4．已知四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，AC交BD于F，E為PA的中點，PC=3，且PC⊥平面ABCD．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）若三棱錐P-BCF的體積為2$\sqrt{3}$，求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明EF∥PC，利用PC⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，即可證明平面EBD⊥平面ABCD；
（2）利用等體積轉換，求點E到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，AC交BD于F，
∴F為AC的中點，
∵E為PA的中點，
∵EF∥PC，
∵PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
∵EF?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD；
（2）解：∵EF∥PC，EF?平面PBC，PC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∴點E到平面PBC的距離即為F到平面PBC的距離，即三棱錐F-PBC的高h，
由等體積，可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PC×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2h$=2$\sqrt{3}$，
∴h=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查平面與平面垂直，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．