Question

13．在△ABC中，已知cosC=$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}$sinA=3cosB，則tanB的值等于$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，由A+B+C=π，可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB．即可得出tanB．

解答 解：∵cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB．
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
∴解得：tanB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和差的正弦函數(shù)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．