3．設(shè)An=（1+lgx）n，Bn=1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x（n≥3，n∈N），且x＞$\frac{1}{10}$，試比較An和Bn的大小，并證明你的結(jié)論．

分析 對x分類討論，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二項(xiàng)式定理展開即可得出．

解答 解：∵n≥3，
∴An-Bn=[1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x+${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+…]-（1+nlgx+$\frac{n（n-1）}{2}$lg2x）
=${∁}_{n}^{3}l{g}^{3}x$+${∁}_{n}^{4}l{g}^{4}x$+…+${∁}_{n}^{n}l{g}^{n}x$．
當(dāng)x≥1時，lgx≥0，∴An≥Bn．
當(dāng)$\frac{1}{10}＜x＜1$時，-1＜lgx＜0，An＜Bn．
綜上可得：當(dāng)x≥1時，An≥Bn．當(dāng)$\frac{1}{10}＜x＜1$時，An＜Bn．

點(diǎn)評 本題考查了分類討論、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二項(xiàng)式定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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