Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，cosx），函數(shù)f（x）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-1
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，若f（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（x）=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象即可求得x的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．…（4分）
所以由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．…（6分）
（2）由f（x）=1得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴x=$\frac{π}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．