Question

【題目】已知A，B是焦距為的橢圓的上、下頂點(diǎn)，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若C，D分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連接CM交橢圓于點(diǎn)E，試問(wèn)：x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)T坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)滿足題意

【解析】

（1）設(shè),代入橢圓方程可得,由,則,又由,進(jìn)而求得,從而求得橢圓方程；

（2）設(shè),法一：設(shè),由C,E,M共線得,則,由E在橢圓上,可得,代入中求解即可；

法二：設(shè)直線,則,聯(lián)立可得,則,代入中求解即可

（1）由題,,設(shè),

則,所以,

所以,

所以,

又,

所以,

所以橢圓的方程為

（2）存在,

設(shè)其坐標(biāo)為,由題,,

法一：設(shè),

由C,E,M共線得,即,所以,

由E在橢圓上,得,則,

因?yàn)?/span>,,

所以恒成立,

所以,即存在定點(diǎn)滿足題意

法二：設(shè)直線,其中,

令得,

聯(lián)立,

得,

故,所以,

所以,,

故恒成立,

所以,即存在定點(diǎn)滿足題意