Question

6．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點為F，過F且斜率為$\sqrt{3}$的直線交C于A、B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=4$\overrightarrow{FB}$，則C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{6}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{9}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)AF=4m，BF=m．過A，B分別做準(zhǔn)線的垂線，垂足為A₁，B₁．由雙曲線定義得可分別表示出|AA₁|和|BB₁|，過B做BD垂直于AA₁垂足D．根據(jù)直線的斜率可知∠ABD=30°進(jìn)而求得|AD|和|AB|的關(guān)系求得e．

解答 解：設(shè)|AF|=4m，|BF|=m．
過A，B分別做準(zhǔn)線的垂線，垂足為A₁，B₁．
由雙曲線的第二定義得，
|AA₁|=$\frac{4m}{e}$．|BB₁|=$\frac{m}{e}$．過B做BD垂直于AA₁垂足D．
在△ABD中，∠ABD=30°，|AD|=$\frac{1}{2}$|AB|．
即$\frac{3m}{e}$=$\frac{1}{2}$×5m．
解得e=$\frac{6}{5}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查雙曲線的離心率的求法，注意運用定義法，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．