Question

14．已知P（t，t），t∈R，點M是圓O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$上的動點，點N是圓O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$上的動點，求PN-PM的最大值．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，結(jié)合圖形，把求PN-PM的最大值轉(zhuǎn)化為PO₂-PO₁+1的最大值，
再利用PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，即可求出對應(yīng)的最大值．

解答 解：如圖所示，

圓O₁：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$的圓心O₁（0，1），
圓O₂：（x-2）²+y²=$\frac{1}{4}$的圓心O₂（2，0），這兩個圓的半徑都是$\frac{1}{2}$；
要使PN-PM最大，需PN最大，且PM最小，
由圖可得，PN最大值為PO₂+$\frac{1}{2}$，
PM的最小值為PO₁-$\frac{1}{2}$，
故PN-PM最大值是（PO₂+$\frac{1}{2}$）-（PO₁-$\frac{1}{2}$）=PO₂-PO₁+1，
點P（t，t）在直線 y=x上，O₁（0，1）關(guān)于y=x的對稱點O₁′（1，0），
直線O₂O₁′與y=x的交點為原點O，
則PO₂-PO₁=PO₂-PO₁′≤O₁′O₂=1，
故PO₂-PO₁+1的最大值為1+1=2，
即PN-PM的最大值為2．

點評 本題考查了直線與圓的方程的綜合應(yīng)用問題，主要考查圓的標準方程，點與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是綜合性題目．